導讀
4-f系統(tǒng)是一種經典的光學系統(tǒng)，廣泛應用于傅里葉變換光學、圖像處理、光學信息處理和全息術等領域[1]。4-f系統(tǒng)利用兩個透鏡和光學傅里葉變換的特性，實現(xiàn)空間頻率的調制和分析。
一、4-f系統(tǒng)的基本原理
4-f系統(tǒng)的名稱來源于其結構，若L1的焦距f1與L2的焦距f2相等，此時整個系統(tǒng)的距離為4f，此時為標準的4-f系統(tǒng)，像面和物面的光場區(qū)域是1:1的比例。如果L1和L2的焦距不同，此時除了相比于標準的4-f系統(tǒng)在像面的光場大小（像面水平以及豎直方向）縮放比例為f2:f1，其他作用和標準的4-f系統(tǒng)一致。
圖1 4-f系統(tǒng)示意圖
其基本結構如下：
1. 輸入面：放置待處理的光學信息（如圖像或光束）。
2. 第一透鏡：焦距為 f1，對輸入面的光場分布進行傅里葉變換。
3. 傅里葉面：位于第一透鏡的焦平面處，形成輸入光場的傅里葉變換。在傅里葉面處可以放置光學濾波器，進行頻域調制。
4. 第二透鏡：焦距為f2，將傅里葉變換后的光場進行傅里葉變換，恢復到空間域。
5. 輸出面：位于第二透鏡的焦平面處，顯示處理后的光學信息。
在4f系統(tǒng)中，輸入光場U(x,y) 經過第一透鏡后，在傅里葉面上形成其傅里葉變換。傅里葉面上的光學濾波器可以對特定的空間頻率成分進行調制。經過第二透鏡后，傅里葉面上的調制光場再次進行傅里葉變換，形成輸出光場U’(x,y)。
這個過程可以用數(shù)學公式表示為：
其中，表示傅里葉變換，表示傅里葉逆變換，是傅里葉面上的濾波器函數(shù)。
二、4-f系統(tǒng)在空間光調制器光路中的應用
如果在圖1中的物面處放置一個空間光調制器，在傅里葉面處放置一個可調光闌，利用光闌濾出在傅里葉面處合適的衍射級次（通常設置為1級衍射級次），在像面可以實現(xiàn)非調制光（零級光、前表面反射光）的干擾減弱或者實現(xiàn)一些復雜的復振幅光場調控。另外，如果產生的光場是在SLM面的較近距離處，由于空間上的考慮，通常不可能將探測器離SLM足夠近，此時就可以利用4-f系統(tǒng)實現(xiàn)光場中繼的作用，此時的像面對應光場調控的初始平面[2]。整個系統(tǒng)的光路圖如下圖所示。
圖2 空間光調制器結合4-f系統(tǒng)光路圖。
Laser：激光器；LP：偏振片；BE：擴束鏡；SLM：空間光調制器；L1，L2：透鏡；AP：光闌；CCD：相機。
應用1 疊加閃耀光柵相位去除0級光影響
空間光調制器由于調控的液晶區(qū)域呈現(xiàn)周期性的像素分布，入射激光打到周期性結構上會發(fā)生類晶格散射現(xiàn)象，從而會在0級區(qū)域產生不可被調控的光分量，此時若對調制的相位圖疊加一個閃耀光柵相位（線性相位），則可以用來消除0級光的影響。我們以渦旋光為例，觀察疊加閃耀光柵相位利用4-f系統(tǒng)濾波后在像面后26cm的調制效果和自由傳播26cm的調制效果，可以發(fā)現(xiàn)利用4-f系統(tǒng)濾波后產生得到的渦旋光相比直接產生的渦旋光效果會更好。此應用案例實驗結果利用UPOLabs HDSLM45R得到。
圖3 自由空間和利用4-f系統(tǒng)濾波后的渦旋光傳輸26cm的光強比較結果。
應用2 復振幅光場調控
使用空間光調制實現(xiàn)高階厄米-高斯光束和高階拉蓋爾-高斯光束，此時需要結合4-f系統(tǒng)對入射高斯光進行復振幅光場調控，進而在像面得到相應的光場分布。此應用案例實驗結果利用UPOLabs HDSLM80R得到。
圖4 利用4-f系統(tǒng)產生高階厄米-高斯光束和拉蓋爾-高斯光束[3]。
(a)(b)加載在空間光調制器上的的相位圖；（c）對應的光場強度分布。
應用3 渦旋陣列調控
利用全息方法產生渦旋陣列，若渦旋光束陣列相鄰渦旋光束間距較大，則激光經過加載相應相位圖的SLM后自由傳輸一定距離可以在相應平面觀察到渦旋陣列。若渦旋光束排列非常緊密，相互之間的間距如果非常小，此時激光經過加載相應相位圖自由空間傳輸在某一平面得到的渦旋陣列相鄰之間的渦旋光束是相互干擾的，無法得到想要的實驗效果。此時利用4-f系統(tǒng)在傅里葉面處對一級衍射級次進行空間濾波，則可以在像面附近得到理想效果的渦旋陣列。實驗加載的相位圖和實驗效果圖如圖5所示。
圖5 利用4-f系統(tǒng)產生渦旋光束陣列
另外，在此實驗中，若CCD相機擺放的位置位于L2和像面之間，且離L2較近或者距離4-f系統(tǒng)像面后方較遠，此時產生的小間距渦旋陣列相鄰渦旋會存在相互干涉的情況，本實驗中設置的4-f系統(tǒng)中透鏡L1和L2的焦距f1=f2=150mm。觀察距離像面不同距離處渦旋陣列的強度分布情況，實驗結果如圖6所示。因此在實驗中若發(fā)現(xiàn)產生的渦旋陣列不理想，可以考慮CCD相機觀察面的位置選擇是否有問題，或者考慮透鏡的焦距是否與實際的焦距有所出入導致。此應用案例實驗結果利用UPOLabs HDSLM38R得到。
圖6利用4-f系統(tǒng)產生渦旋光束陣列在像面前后的成像情況。
（a）小間距渦旋陣列；（b）大間距渦旋陣列。
參考文獻
[1] J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics. New York, NY, USA:McGraw-Hill, 2005.
[2] C. Rosales-Guzmán and A. Forbes, How to Shape Light With Spatial Light. Modulators. Bellingham, WA, USA: SPIE, 2017.
[3] Shen, Donghui, et al. "Mode conversion and transfer of orbital angular momentum between Hermite-Gaussian and Laguerre-Gaussian beams." IEEE Photonics Journal 14.1 (2022): 1-6.